About Fungsi

FUNGSI

Fungsi dari A ke B adalah relasi yang memasangkan setiap anggota himpunan A ke hanya satu anggota himpunan B
Notasi fungsi f dari A ke B ditulis f : A → B
A disebut Domain (daerah asal)
B disebut Kodomain (daerah kawan)
Himpunan bagian dari B yang merupakan hasil dari fungsi A ke B disebut Range (daerah hasil)
Fungsi juga dapat dinyatakan dengan lambang f : x → y = f(x)
Dimana y = f(x) adalah rumus fungsi dengan x sebagai variabel bebas dan y sebagai variabel terikat (tak bebas)

Contoh :

Untuk fungsi yang digambarkan dalam diagram panah di atas:
Domain = D_f = {1, 2, 3, 4}
Range = R_f = {2, 4}

Sifat-sifat Fungsi

1.     Fungsi Injektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk sebarang a₁ dan a₂ dengan a₁ tidak sama dengan a₂ berlaku f(a₁) tidak sama dengan f(a₂). Dengan kata lain, bila a₁ = a₂ maka f(a₁) sama dengan f(a₂).

2.     Fungsi Surjektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk sembarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).

3.     Fungsi Bijektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B. Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah sekaligus injektif dan surjektif.

Fungsi Komposisi/Gabungan

Notasi:
f komposisi g dapat dinyatakan dengan f o g (dapat juga dibaca ”f bundaran g”)
(f o g)(x) = f(g(x)) (g dimasukkan ke f)

llustrasi:

 

Contoh

 f(1) = 2, g(2) = 0, maka (g o f )(1) = g(f(1)) = g(2) = 0

Sifat-Sifat Komposisi Fungsi
 

1. Tidak bersifat komutatif              

          (f o g)(x) ≠ (g o f)(x)

2. Asosiatif               

          (f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)

3. Terdapat fungsi identitas  I(x) = x            

          (f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)

Contoh 1:
 

f(x) = 3x + 2
g(x) = 2x + 5
h(x) = x² – 1
Cari (f o g)(x), (g o f)(x), dan (f o g o h)(x)!
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(2x + 5)
=  3(2x + 5) + 2
= 6x + 15 + 2 = 6x + 17

(g o f)(x) = g(f(x)) = g(3x + 2)
= 2(3x + 2) + 5
= 6x + 4 + 5 = 6x + 9

(f o g o h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(x² – 1))
= f(2(x² – 1) + 5)
= f(2x² – 2 + 5)
= f(2x² + 3)
= 3(2x² + 3) + 2
= 6x² + 9 + 2 = 6x² + 11
atau dengan menggunakan rumus (f o g)(x) yang sudah diperoleh sebelumnya,
(f o g o h)(x) = (f o g)(h(x)) = (f o g)(x² – 1)
= 6(x² – 1) + 17
= 6x² – 6 + 17
= 6x² + 11

Contoh 2:
 

f(x) = 3x + 2
(f o g)(x) = 6x + 17
Cari g(x)!
(f (g(x)) = 6x + 17
3.g(x) + 2 = 6x + 17
3.g(x) = 6x + 17 – 2
3.g(x) = 6x + 15
g(x) = 2x + 5

Contoh 3:
 

f (x) = x² + 2x + 5
(f o g)(x) = 4x² – 8x + 8
Cari g(x)!
f (g(x)) = 4x² – 8x + 8
(g(x))² + 2g(x) + 5 = 4x² – 8x + 8
Gunakan cara melengkapkan kuadrat sempurna
(g(x) + 1)² – 1 + 5 = 4x² – 8x + 8
(g(x) + 1)² = 4x² – 8x + 8 – 4
(g(x) + 1)² = 4x² – 8x + 4
(g(x) + 1)² = (2x – 2)²
g(x) + 1 = 2x – 2 atau g(x) + 1 = –(2x – 2)
g(x) = 2x – 3 atau g(x) = –2x + 3
atau
f(g(x)) = 4x² – 8x + 8
(g(x))² + 2g(x) + 5 = 4x² – 8x + 8
Karena pangkat tertinggi di ruas kanan = 2, maka misalkan  g(x) = ax + b
(ax + b)² + 2(ax + b) + 5 = 4x² – 8x + 8
a²x² + 2abx + b² + 2ax + 2ab + 5 = 4x² – 8x + 8
a²x² + (2ab + 2a)x + (b² + 2ab + 5) = 4x² – 8x + 8
Samakan koefisien x² di ruas kiri dan kanan:
a² = 4 → a = 2 atau a = –2
samakan koefisien x di ruas kiri dan kanan:
untuk a = 2 → 2ab + 2a = –8
4b + 4 = –8
4b = –12 → b = –3
untuk a = –2  → 2ab + 2a = –8
–4b + 4 = –8
–4b = –12 → b = 3
Jadi g(x) = 2x – 3 atau g(x) = –2x + 3

 

 

Fungsi Invers 

 

Notasi
Invers dari fungsi f(x) dilambangkan dengan f^–1 (x)

Ilustrasi

 

Contoh:

Jika f(2) = 1 maka f^–1(1) =2
Jika digambar dalam koordinat cartesius, grafik invers fungsi merupakan pencerminan dari grafik fungsinya terhadap garis y = x

Sifat-Sifat Fungsi Invers:

1.     (f^–1)^–1(x) = f(x)

2.     (f o f^–1)(x) = (f^–1 o f)(x) = I(x) = x, I = fungsi identitas

3.     (f o g)^–1(x) = (g^–1 o f^–1)(x)

Ingat: (f o g^–1)(x) ¹ (f o g)^–1(x)

Mencari Fungsi Invers

1.     Nyatakan persamaan fungsinya y = f(x)

2.     Carilah x dalam y, namai persamaan ini dengan x = f^–1(y)

3.     Ganti x dengan y dan y dengan x, sehingga menjadi y = f^–1(x), yang merupakan fungsi invers  dari f

Contoh 1:
 

f(x) = 3x – 2
fungsi inversnya :

 

Contoh 2:

Cara Cepat!

Contoh 3:

 

Fungsi Khusus 

Fungsi Floor dan Ceiling  

Misalkan x adalah bilangan riil, berati x berada diantara dua bilangan bulat.
Fungsi Floor dari x :
[x] menyatakan nilai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x 
Fungsi Ceiling dari x :
[x] menyatakan nilai bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x 
Dengan kata lain, fungsi floor membulatkan x ke bawah, sedangkan fungsi ceiling membulatkan x ke atas.
Contoh nilai fungsi floor dan ceiling :
 

Contoh 
 

Di dalam komputer, data dikodekan dalam untaian byte, satu byte terdiri atas 8 bit. Jika panjang data 125 bit, maka jumlah byte yang diperlukan untuk merepresentasikan data adalah [125/8] = 16 byte. Perhatikanlah bahwa 16 ´ 8 = 128 bit, sehingga untuk byte yang terakhir perlu ditambahkan 3 bit ekstra agar satu byte tetap 8 bit (bit ekstra yang ditambahkan untuk menggenapi 8 bit disebut padding bits).

    Fungsi Modulo

Misalkan a adalah sembarang bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat positif.
a mod m memberikan sisa pembagian bilangan bulat bila a dibagi dengan m
a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0 £ r < m.
 
Contoh  

25 mod 7 = 4
15 mod 4 = 0
3612 mod 45 = 12
0 mod 5 = 5
–25 mod 7 = 3 (sebab –25 = 7 × (–4) + 3 )

    Fungsi Faktorial

Untuk sembarang bilangan bulat tidak negatif n, faktorial dari n, dilambangkan dengan n! 

 

Contoh

0! = 1

1! = 1

2! = 2 x 1 = 2

3! = 3 x 2 x 1 = 6

Dst

    Fungsi Eksponensial

Fungsi dari suatu konstanta berpangkat variabel bebas. Bentuk fungsi eksponensial yang paling sederhana adalah

y = n^x      n>0 

Untuk kasus perpangkatan negatif :

 

    Fungsi Logaritmik

Fungsi Logaritmik berbentuk :  y = ^a log x  x = a^y

    Fungsi Rekursif

Fungsi f dikatakan fungsi rekursif jika definisi fungsinya mengacu pada dirinya sendiri.

n! = 1 X 2 X … X (n – 1) X n = (n – 1)! X n.

 

Fungsi rekursif disusun oleh dua bagian:

(a)  Basis

Bagian yang berisi nilai awal yang tidak mengacu pada dirinya sendiri. Bagian ini juga sekaligus menghentikan definisi rekursif.

(b) Rekurens

Bagian ini mendefinisikan argumen fungsi dalam terminologi dirinya sendiri. Setiap kali fungsi mengacu pada dirinya sendiri, argumen dari fungsi harus lebih dekat ke nilai awal (basis).

Contoh definisi rekursif dari faktorial:

(a) basis: n! = 1 , jika n = 0

(b) rekurens: n! = n X (n -1)! , jika n > 0

5! dihitung dengan langkah berikut:

(1) 5! = 5 X 4!

(2)              4! = 4 X 3!         (rekurens)

(3)                           3! = 3 X 2!

(4)                                        2! = 2 X 1!

(5)                                                     1! = 1 X 0!

(6)                                                                   0! = 1

(6’) 0! = 1

(5’) 1! = 1 X 0! = 1 X 1 = 1

(4’) 2! = 2 X 1! = 2 X 1 = 2

(3’) 3! = 3 X 2! = 3 X 2 = 6

(2’) 4! = 4 X 3! = 4 X 6 = 24

(1’) 5! = 5 X 4! = 5 X 24 = 120

Jadi, 5! = 120.

Selamat belajar! :)